Leserartikel-Blog

Mathematik, Mandelbrot-Menge, Chaologie, Weltformel und EVOLUTION

Vorbemerkungen

Üblicherweise wird MATHEMATIK - ein geistiges Abenteuer - eher als eine Natur-Wissenschaft beschrieben, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht. Mathematik – als „Mutter aller Wissenschaften“ (Weizenbaum) gesehen -, wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen, wobei ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen müssen. Bei der Breite mathematischer Themen sind für Fragen der Theorie der EVOLUTION vor dem DARWINJAHR 2009 besonders die Erkenntnisse der „exakten“ Geometrie (Figuren-Untersuchung mit systematischem Studium von Symmetrien; „Gruppentheorie“) interessant: Hier offenbart sich besonders der experimentelle Charakter der sehr alten Wissenschaft. Mathematische Fähigkeiten sind ein charakteristisches Merkmal der kulturellen EVOLUTION des Menschen, der kreativ-innovativ mit mathematischen Aussagen/Fakten durch reine Gedankenoperationen umgehen kann und „strenge“ Theorien mit Fachbegriffen, Formeln & Gleichungen entwickeln kann. Mathematik ist in der Biologie der Evolution (ohne abgehoben, abstrakt und unsinnlich oder schwierig zu sein) nützlich z. B. für Untersuchungen zum (noch ungelösten) Problem der Bienenwabenstruktur-Entstehung (vgl. (2) S. 55, 58, 92, 265, 271 ff. 287), der Diskussion des Goldenen Schnitts und der Fibonacci-Zahlen (vgl. (3) Essay Hahn, S. 268 f. Abb. 5 u. 6 mit Legenden) sowie biologischer Mutationen radärsymmetrischer Art (ebenda Abb. 2 u.3) und allgemein symmetrischer Art (evolutionärer Wirkungsmechanismus der Asymmetrisation/Symmetrisation (vgl.(2)/(3)). Die Natur bevorzugt das Auftreten des Goldenen Schnitts – besonders am Beispiel der fünf-zähligen Symmetrien (Glockenblume, Seestern), wobei es – mathematisch gesehen - daran liegen könnte, dass sich im regulären Fünfeck die Diagonalen genau im Goldenen Schnitt teilen; er zeigt sich als Verhältnis von Seitenlänge und Länge einer Diagonalen.. Die mathematische Schönheit des Goldenen Schnitts wird indessen leicht durch Mutationen gebrochen, indem anders-zählige Symmetrien gerne erzeugt werden: z. B. regelmäßige 4- und 6-, 7-, 8-zählige Formen der genannten Arten; vgl. (2) Abb. 68, 132 und 272, 274 als Beweise. Die Fünf-Zähligkeit ist sicher nicht „schöner“ als die der unzähligen anderen nicht 5-zählig-radiärsymmetrischen Arten! Mathematik-Ideologen könnten zum Pentagramm anderer Meinung sein.

Zum Thema einer mathematischen Modellierung biologischer Systeme: Selbstorganisation und Evolution, siehe auch (3) mit kritischen Essays von Michael Weingarten („Sind Organismen geometrische Konstruktionen?“ S. 53-61), Hermann Haken und Axel Pelster („Über die Rolle der Symmetriebrechung bei der Selbstorganisation“, S. 121-132), Peter Weibel („Der geometrische Geist“, S. 161-176), Klaus Mainzer („Symmetrie und Symmetriebrechung“, S. 179-191) Peter Klein („Symmetrie – universales Kausalprinzip?“, S.203-218), Dénes Nagy („Quasidynamische und dynamische Symmetrien“, S. 219- 228). Wissenschaftler am Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation in Göttingen haben eine Methode entwickelt, um Netzwerke aus Neuronen mathematisch zu modellieren, die bestimmte vorgegebene Aktivitätsmuster erzeugen. Die Forscher hoffen, mit ihrer Methode besser zu verstehen, welche der möglichen Netzwerkkonfigurationen die Evolution bei der Gehirnentwicklung bevorzugt hat - und weswegen sie das tat. Memmesheimer & Timme entwickelten die mathematische Methode, ein Werkzeug, mit dem Wissenschaftler in Zukunft gezielt den Zusammenhang zwischen Struktur und Funktion eines neuronalen Netzwerks untersuchen können.

Der biologische Konstrukteur – die EVOLUTION – leistet beim Finden einer optimalen Form oft bessere Arbeit als Mathematik (vgl. „Bionik“). Durch Form-Optimieren als mathematische Aufgabe ist ein Maximum von Funktionen zu bestimmen (Simulationsrechnung, Software-Entwicklung; vgl. Automobil- oder Flugzeugbereich). Als Anwendungs-Wissenschaft half Mathematik mit, dass die Kulturleistungen wie CD, Handy, Computer etc. funktionieren. Wie die Biologie, optimiert Mathematik bei der kreativen Suche nach den am besten Geeigneten: durch (kulturelle) EVOLUTION („Survival of the Fittest“). Mit „Evolutionsalgorithmen“ oder „genetischen Algorithmen“ versucht man über „mathematische Meme“ der „menschlichen“ Mathematik Mutationsergebnisse der Natur „nachzuahmen“ und kulturell weiterzuentwickeln. Mathematiker erstellen Modelle, um die Evolution besser verstehen zu können. Hierbei kann gedankenanregende Mathematik durchaus mithelfen, postulierte Naturgesetze zu erforschen oder zu verifizieren bzw. falsifizieren: Bsp. Leonardo-Vitruvscher Mann – Proportionsstudien – Quadratur des Kreises; Perspektive und Zentralprojektion (vgl. (2), Abb. 622 mit Legende) sowie die „Transformations-Geometrie“ (Dürer, Thompson etc. – vgl. (3), S. 270 ff. Abb. 8, 9 a,b,c. sowie (2) S. 45 ff. Kap. 4.2.3. Abb. 142 - 146 und 634). Siehe auch Seifenhäute-Untersuchungen: Mathematik der Minimalflächen, Frei Otto und das Zeltdach des Münchener Olympiastadions.

Der ungeheure Formenreichtum der sog. MANDELBROT-Menge (1) erschließt sich aus ihrem Bezug zu Julia-Mengen (Fraktale). Die Mandelbrot-Menge (Formel z(n+1) := z(n)² + c, mit z(0) := 0), im allgemeinen Sprachgebrauch oft auch „Apfel-Männchen“ genannt, ist ein Fraktal, das in der CHAOS-Theorie eine bedeutende Rolle spielt. Die Bezeichnung „Apfelmännchen“ korrespondiert mit der geometrischen Grobform einer um 90 Grad im Uhrzeigersinn gedrehten Mandelbrotmenge. Vor allem durch den hohen ästhetischen Reiz von Computergraphiken ist das „Apfel-Männchen“ (kurz AM) bekannt, das durch bewusste Farbgestaltung des Außenbereichs, der nicht zur Menge gehört, noch erhöht wird. „Die Mandelbrot-Menge wird als das formenreichste geometrische Gebilde bezeichnet“ lesen wir im Artikel über die Mandelbrot-Menge bei WIKIPEDIA. Das AM wurde 1980 von Benoît Mandelbrot erstmals computergrafisch dargestellt und untersucht. Der Formenreichtum es AM zeigt sich an stark vergrößerten Ausschnitten des Randes, die überdies Beispiele für das Konzept der „Selbstähnlichkeit“ bei Fraktalen liefern. Trotz der hohen inneren Ordnung mit Symmetrien wurde die Mandelbrot-Menge zum Symbol für das mathematische Chaos.

Die Mandelbrot-Menge, die spiegelsymmetrisch zur reellen Achse ist, erlangte durch Publikationen von (animierten) Bildern und in den Medien Ende der 1980er Jahre einen für ein mathematisches Thema dieser Art ungewöhnlich großen Bekanntheitsgrad. „Sie dürfte das populärste Fraktal und möglicherweise das populärste Objekt der zeitgenössischen Mathematik überhaupt sein“, schreibt WIKIPEDIA, wo farbschöne computergrafisch animierte Beispiele zu sehen sind. In den fraktalen Strukturen am Rand des AM findet man verkleinerte ungefähre Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge, so genannte Satelliten-AMs.

Nach WIKIPEDIA wird diese AM-Strukturen „gelegentlich mit der eines biologischen Organismus und seiner Gene verglichen“. Danach würden jedem Satelliten die Erbsubstanz einer Zelle entsprechen, die den Bauplan für den kompletten Organismus enthalte, „während nach außen hin nur die Strukturen des lokalen Organs exprimiert“ seien. Wichtig: „Es handelt sich dabei jedoch um ein rein formales Gleichnis ohne kausalen Hintergrund.“

Ein Aspekt neben dem enormen geometrischen Formenreichtum der Mandelbrot-Menge sei der extreme „Kontrast zwischen diesem und der Einfachheit des zugrunde liegenden Algorithmus, der an biologische Systeme“ erinnere, „bei denen nach naturwissenschaftlicher Sicht ebenfalls aus einer vergleichsweise geringen Zahl von Regeln äußerst komplexe Systeme entstehen können“. Durch AMs inspirierte Computerkünstler (die Menge wurde in Bremen an der Uni „Apfelmännchen getauft), trugen zu einem „Aufschwung fraktaler Konzepte“ bei, in denen zahlreiche Modifikationen des Algorithmus Anwendung fanden, welcher der Mandelbrot-Menge zugrunde liegt.

Erstaunt über die morphogenetischen Strukturen die Mandelbrotmenge mit ästhetischem Reiz und Symmetrien – die computerexperimentellen Resultate der Computergraphiklabors zu den AMs der „Fraktalen Geometrie“ -, habe ich mich vor 1989 intensiver mit der „universellen Struktur“ der 1980 auf dem Computerterminal erstmals entdeckten, stets wiederkehrenden Mandelbrotenge befasst. Es gibt Ordnung im Chaos: Hinter dem Zufall stecken geometrische Strukturen, chaotisches Verhalten beruht auf eleganten geometrischen Strukturen: Das „ungeordnete Nebeneinander („Chaos“) stellt nur Mangel an Information dar. Feigenbaum fand das Prinzip der „periodischen Verdopplung“ – auch durch mathematische Formeln, die in Rechner eingegeben wurden -, das Symmetrien offenbart. Bei Experimenten mit Flüssigkeiten fand man analoge Chaosmuster wieder (Feigenbaum-Phänomen); siehe hierzu auch (2), S. 232 und Abb. 613 mit „Sekundärapfelmännchen und „Clown“.

An anderer Stelle (3) erläuterte ich, dass die Chaologie biologische Fulguration noch nicht erklärt: „Attraktoren“ biologischer Art (Tier- und Pflanzenarten/Typen oder deren Organe) müssten sich durch „schöpferische Attraktor-Sprünge“ um eine evolutionäre Dynamik zu erzeugen, d. h. radikale evolutionäre Innovationen bewirken zu können. Die Diskussion der Attraktor-Hypothese (eines mathematischen Modells!) zeigt, dass (bisher jedenfalls) hierdurch keinerlei biologisch-evolutionäre Kreativität (Emergenz) erklärt wird; im Gegensatz zu R. Thoms Äußerungen. Hierzu und zu Chaos & Symmetrie, Skalenprinzip/Skaleninvarianz (Affinprinzip), Periodenverdopplung, AMs siehe mehr in (3); Aufsatz daraus zur EST in art-and-science.de. Eine Evolutionäre Chaostheorie ist noch zu entwickeln. Mandelbrots „Fraktale Geometrie“ stellte ich meine „Evolutionäre Geometrie“ gegenüber (a.a.O. S. 261), die beide in nichtlinearen dynamischen Prozessen Bifurkationen (Verzweigungen) erzeugen. In der „Evolutionäre Geometrie“ bewirken evolutionäre Iterationen den Gestaltwandel (siehe auch ars evolutoria).

Prof. Dr. Siegfried Grossmann (Physiker, Mathematiker, Chaosforscher; Philipps-Universität-Marburg) der mein „Projekt Evolutionäre Symmetrietheorie“ (EST) sehr unterstützt hat (Brief 1992), schrieb in einer Rezension zu (3) – in: Physikalische Blätter, 53. Jahrgang. Heft 12 Dezember 1997, S. 1228; ebenso in: Zeitschrift Physik Journal, September 2003; vgl. auch im Internet: http://www.pro-physik.de) über EST gut zusammengefasst: „Symmetrie wird nicht mehr eher als statischer Begriff gesehen, mathematisch durch eine Gruppe von Transformationen dargestellt, sondern als Rahmen, Leitbild, Verursacher von Dynamik, von Geschehen, von Entwicklung, Selbstorganisation und Komplexität. Bifurkation und Symmetriebrechung, auch Chaos in der Entwicklung von Systemen sind es, durch additive und geometrische Symmetrien charakterisiert, was evolutionäre Symmetrietheorie meint.“

Das Muster der Erkenntnis liege in der MATHEMATIK, dachte sich der Kulturoptimist, Philosoph und Mathematiker G. W. Leibniz (1646-1716); Lehre von der „Prästabilisierten Harmonie“ mit „Monaden“ als „lebendigen Spiegeln“; vgl. (2), S. 96 mit Abb. 230. Leibnitz erkannte, dass man alle Zahlen darstellen kann, indem man nur die Ziffern 0 und 1 benutzt („Binärsystem“, Erfindung der Bits / „binary digits“). Für Leibniz eine göttliche Offenbarung trotz „teuflicher“ Null.

Ebenda erörterte ich in 10.2.1. „Zur ‚Manier’ eines bloß mathematisch-physikalischen Erfassens von Naturwirklichkeit. Heisenbergs ‚Weltformel’ mit Symmetrieforderungen – Abkehr von der Vorstellung einer objektiven Realität von Elementarteilchen“. Abb. 231 zeigt die Weltformel Heisenbergs von 1958 – eine mathematische Gleichung. Zu Heisenbergs Analogie zwischen mathematischen Formen (Formeln, Gleichungen) heutiger Physik als den Grundstrukturen der Natur und Platoschen mathematischen Grundgebilden von hoher Symmetrie siehe a.a.O. S. 97 mehr. C.F. von Weizsäcker hat den mathematischen Ansatz Heisenbergs zur einheitlichen Feldtheorie kritisiert, vermisste „experimentell prüfbare Ergebnisse“. Auf der Suche nach der „Einheit der Natur“ erwartete ein mathematisch formuliertes Grundprinzip (1971; vgl. a.a.O. S. 97). Mathematik sei des entscheidende Bindeglied zwischen dem Geist des Menschen und der Wirklichkeit der Natur. Dazu seien mathematische Modellvorstellungen hochabstrakter Natur erforderlich („abstrakte Oberbegriffe und Gesetze“). Biologische Evolution sei von den gleichen Gesetzen determiniert wie die anorganische Natur. Und: Bewusstsein und Materie seien verschiedene Aspekte derselben Wirklichkeit (geistige „Identitätshypothese“). Die Substanz, das Tragende ist für Weizsäcker weder Materie noch Energie, sondern die FORM (Platos „Eidos“) – heute als Information bezeichnet. KUNST ist dem Naturphilosophen vor allem Wahrnehmungskunst; beseligende Wahrnehmung von Gestalt. Das Problem einer „Weltformel“ der Physik sei heute, „aus der Einheit den Weg in die bunte unerschöpflich-mannigfaltige Vielgestaltigkeit einer abgeleiteten Fomenwelt zu finden“, konstatierte ich 1989! (S. 98.)

Dass Werner Heisenberg in den fünfziger Jahren schon versucht hat, die vier bekannten Urkräfte der Natur in einer „Weltformel“ zu einer Urkraft zu vereinigen, spielte bei meinen Überlegungen zur hypothetischen Urformtheorie („Materie/Antimaterie-Urform“ und „Energie-Urform“) eine Rolle. Als 4 Urkräfte kennt man die magnetische Kraft, die schwache Kraft, die Kernkraft (= starke Kraft) und die Gravitation. Auf der Suche nach der Symmetrie der Welt versuchen Physiker alle Grundkräfte der Natur zu vereinheitlichen: Theorie der sog. Supersymmetrie. (Vgl. (4) ZEIT Online.)
Unsere Kenntnis von der Natur hat Werner Heisenberg in einer „Weltformel“ (Heisenbergsche mathematische Gleichung von 1958) dargestellt (s.o.). Den eigentlichen Kern der Gleichung bilden mathematische Symmetrieforderungen. Heisenberg formulierte und begründete die beiden sich scheinbar widersprechenden Behauptungen: „Die Materie ist unendlich teilbar“ und „Es gibt kleinste Einheiten der Materie“. (Mehr in (2) 9.1.5.)

In der Teilchenphysik kann Naturerkenntnis weniger Natur-ANSCHAUUNG sein. Erfahrungswissen ist für mich (wie schon zuvor Goethe und Haeckel) Anschauungswissen; siehe allenthalben das Ins-BILD-Setzen von spekulativen „Kügelchen“-Modellen für unterschiedlichste Partikel-Arten, Teilchen mit viel Raum zwischen den Partikeln. Goethes Spruch als Motto wählend - „ Wäre die Natur in ihren leblosen Anfängen nicht so gründlich stereometrisch, wie wollte sie zuletzt zum unberechenbaren und unermesslichen Leben gelangen“ – entwickelte ich ein Licht-Materie/Antimaterie-Energie-Urformmodell ( L-M/A-E-Urform-Modell). Anders als die Idee der MATHEMATISIERUNG des Wissens (Welt der Spezialisten in der Teilchen-Physik mit Formeln und Gleichungen, Hochtechnisierung) geht es mir um eine ganz anders geartete Natur-Anschauung. Meine Natur-Erfahrung gewinnt etwas Unmittelbares durch ein neuartiges Ins-BILD-setzen: die Methode der Naturanschauung in der ars evolutoria (poesia evolutoria) erschließt Prozesse, in denen sich die Natur selbst zur Entfaltung gebracht hat - die EVOLUTION. Natursicht ist hier eine Erzählung des der Natur Möglichen, wobei sich evolutionäre Formvielfalt in Natur und Kunst am besten im augenfälligen, sich an Symmetrieprinzipien orientierenden (evolutionären) Bild dokumentiert. Im möglichst anschaulichen Nebeneinander und Auseinander der Formenvielfalt mit strukturellen Variationen (Mutationen) - „Evolutionärer Geometrie“ (ars evolutoria als Wahrnehmungskunst parallel zur Natur mit KUNST-Theorie) - wird EVOLUTION dokumentiert.

Fazit: Die Geometrie ist der Aspekt der Mathematik, der anschaulich zur kulturellen Erkenntnis-Erweiterung führt; verknüpft mit KUNST (z.B. in der ars evolutoria) erschließen sich evolutionäre Bild-Welten.
Anmerkungen:

(1) Versuch einer Antwort auf die gute meme-fördernde „Spitzbub“-Frage: „Ist eine mathematische Formel kreativ? Beispiel der Formel z(n+1) := z(n)² + c, mit z(0) := 0 (Mandelbrot-Menge). Kommentar zum ZEIT Online Artikel von Werner Hahn „Kultur der Evolution: Anmerkungen zur Jahrestagung 2008 des ZfL Berlin“ v. 14.11.08. Ebenda auch Kommentar von „Glimpf“ zur Frage (17.11.08).

(2) HAHN, Werner (1989): Symmetrie als Entwicklungsprinzip in Natur und Kunst. Königstein. Gladenbach: Art & Science, 1995.
(HAHN, Werner (1998): Symmetry as a developmental principle in nature and art. Singapore. (Übersetzung des Originalwerkes von 1989, ergänzt durch ein 13. Kapitel – mit erweitertem Sach- und Personenregister sowie Literatur- und Abbildungsverzeichnis.))

(3) HAHN, Werner / WEIBEL, Peter (Hrsg.) (1996): Evolutionäre Symmetrietheorie: Selbstorganisation und dynamische Systeme. Stuttgart. (Anthologie mit Beiträgen von 19 Autoren.) (Kurz: EST.)

(4) HAHN, Werner (2008): Gottes-Teilchen: LHC-Antworten auf Fragen nach Ursprung, Aufbau und Evolution der Welt? In: ZEIT Online Community v. 12.09.08.